物理必备复习资料六之十六

例15  左端封闭，右端开口的均匀U型管中用水银封有一段长150mm的空气柱。左臂总长为250mm，右臂足够长。如果将管的开口变为竖直向下，求空气柱的长度。(设大气压为750mmHg)

　　【错解】此题是属于气体在等温情况下压强和体积的变化的题，可以利用玻意耳定律求解。

　　初态：p1=(750+100)=850(mmHg)

　　V1=150S(cm3)

　　设倒转后左臂空气柱长度增加x，

　　则末态：p2=(750-100-2x)=(650-2x)(mmHg)

　　V2=(150+x)S(cm3)

　　由玻意耳定律有：p1V1=p2V2

　　即：850×150S=(650-2x)(150+x)S

　　整理得：2x2-350x+30000=0

　　由数学知识可知，当△=b2-4ac=3502-4×2×3000<0，方程无解。所以，这道题是一道没有解的题。

　　【错解原因】在解题时，之所以出现这样的情况，是因为解题者的思维是势导致的错误，上述解法是从空气柱仍在左臂的假设出发的，难道空气就不能进到右臂?显然，认为空气柱仍在左臂的假设是需要重新考虑的。

　　【分析解答】在左臂原有空气柱长150mm的情况下，两管之间的水银柱的高度差与U型管倒转后空气柱是否进入右管有关，高度差越大，水银越重，倒转后，空气柱越有可能进入右管。那么，两臂水银面高度差为多大，才能让空气柱仍留在左臂呢?

　　设初始左、右两臂水银面高度差为h，倒转后空气柱仍在左臂(如图7-31)则：由玻意耳定律有：

　　(750+h)×150S=(750-h-2x)(150+x)S

　　整理得：2x2+(h-450)x+300h=0

　　当△=b2-4ac≥0时，方程有实数解，即

　　(h-450)2-4×2×300h≥0

　　解得：h≤62.5mm

　　也就是说，只有当两臂水银面高度差小于或等于62.5mm时，倒转后空气柱才可能仍留在左臂。而本文给出开始时水银面高度差为100mm>62.5mm，因此，U型管倒转后空气柱会进入右臂。

　　设右臂足够长，倒转后，水银柱已全部进入右臂如图7-32所示，末状态变为：V2=(250+y)S p2=(750-30)=450(mmHg)

　　根据玻意耳定律：

　　850×150S=450×(250+y)S

　　解得：y=33.3mm

　　则空气柱的长度为：l=(250+33.3)=283.3(cm)。

　　【评析】对于一道物理习题，应该从每个数值的物理意义去分析问题，而不能只单纯从数学运算的角度去制定。